Дуальность в физике А.В. Каминский kaminskii@gmail.com Аннотация Мы предлагаем онтологическую интерпретацию квантовой механики, основанную на принципе субъективной неполноты — фундаментальном ограничении, вытекающем из того факта, что наблюдатель является частью наблюдаемого мира. Формализуя сознание как множество состояний сознания Subj, а мир как отображение этого множества в себя W:Subj→Subj, мы строим онтологическое конфигурационное пространство, структура которого естественным образом приводит к Гильбертовому пространству квантовых состояний. В рамках рассматриваемой модели, скрытыми параметрами в представлении оператора наблюдаемой являются собственные значения его канонического сопряжения. В частности, координатные и импульсные представления дополняют друг друга, образуя полное онтологическое описание, а соответствующие им переменные оказываются взаимно скрытыми. С этой точки зрения, феномен дуальности в физике, проявляющийся в таких парах, как координата-импульс или время-энергия отражает субъект – объектную структуру реальности. Модель предлагает новую интерпретацию принципа дополнительности Бора и дает геометрическое обоснование некоммутативности с точки зрения субъективной неполноты. Кроме того, энтропийные соотношения неопределенности Хиршмана–Эверетта переосмыслены как количественные меры субъективной неполноты. Этот подход связывает рост термодинамической энтропии с «движением» сознания наблюдателя вдоль градиента онтологических состояний, тем самым обеспечивая естественное объяснение термодинамической стрелы времени. Таким образом, ключевые особенности квантовой механики вытекают из фундаментального принципа субъективной неполноты. Статья продолжает серию работ, посвященных роли наблюдателя и сознания в физике. Ключевые слова: Основания квантовой механики; дополнительность; скрытые переменные; субъективная неполнота; сознание; онтологические модели; энтропийная неопределенность. 1. Квантовая механика на поле состояний сознания В [3] мы показали, как получить квантовую механику, основываясь на формализованном представлении о сознании. Здесь мы покажем, как возникает абстракция Гильбертова пространства квантовых состояний, и как оно связано с пространством физических состояний. Прежде всего определим основные понятия. Введем понятие Абстрактного наблюдателя. Будем обозначать его 𝑆𝑢𝑏𝑗 (субъект). Он представляет собой множество состояний сознания 𝑆𝑢𝑏𝑗={𝜉1,𝜉2,⋯,𝜉N}. (1.1) Это множество в духе философии Беркли (George Berkeley) мы отождествляем с множеством элементов физической реальности – все, что можно измерить и осознать. В таком подходе интерпретация квантовой механики, согласно которой квантовые наблюдаемые не обладают априорным (независимым от наблюдателя), существованием, обосновывается самым радикальным образом, поскольку наблюдаемые и есть состояния самого наблюдателя. Миром 𝑊 будем называть отображение абстрактного наблюдателя в себя: 𝑊:𝑆𝑢𝑏𝑗→𝑆𝑢𝑏𝑗. (1.2) То есть, Мир – это множество пар состояний сознания {𝜉i,𝜉j}. Здесь отмечается аллюзия с самонаблюдающей Вселенной Уилера (John Archibald Wheeler) и с философией самопологания Фихте (Johann Gottlieb Fichte). Однако, для нас это просто аксиома. Онтологические пары упорядочены. Будем считать, что первый элемент пары соответствует текущему состоянию сознания. Упорядоченность — это следствие фундаментального свойства сознания, известного, как интенциональность (Franz Brentano), и означающего направленность сознания на объект. Для нас же, с точки зрения формального построения, это просто необходимое условие, позволяющее строить структуры над множеством состояний сознания 𝑆𝑢𝑏𝑗. Из определений наблюдателя 𝑆𝑢𝑏𝑗 и Мира 𝑊 (см. выше) следует, что мощность множества онтологических состояний больше мощности множества состояний сознания |𝑊|>|𝑆𝑢𝑏𝑗| (для N>1). Это положение вещей мы называем неполнотой. Из неполноты следует неразличимость субъектом интенций с одним и тем же текущим состоянием сознания: {𝜉i,𝜉j}~{𝜉i,𝜉𝑘}; 𝑖≠𝑗≠𝑘. (1.3) Такие состояния образуют классы субъективно неразличимых (не различимых субъектом) состояний {𝑆𝑢𝑏𝑗,~}. Этот факт играет ключевую роль в структуре формализма квантовой механики. Физическая реальность 𝑆𝑢𝑏𝑗 супервентна над онтологическим слоем реальности W, то есть, она детерминируется последней. Формально, это означает, что волновая функция подчиняется детерминированной онтологической динамике, тогда, как динамика проективных измерений, производимых субъектом, индетерминирована. Понимание того факта, что – квантовая неопределенность субъективна - важнейшее следствие нашей модели. Таким образом, сочетание супервентности с неполнотой создает тот удивительный гибрид детерминизма и случая, который свойственен квантовой механике. Далее мы построим игрушечный мир на множестве N состояний сознания, и покажем, что реальность такого наблюдателя подчиняется квантовым законам. Рассмотрим мир, состоящий из наблюдателя и всего одной наблюдаемой частицы. Конфигурационное пространство состояний такой системы образуют всевозможные интенциональные пары {𝑥,𝑥h}. где 𝑥∈𝑆𝑢𝑏𝑗 соответствует наблюдаемой координате (например, координате, детектора частиц), а 𝑥h∈𝑂𝑏𝑗 — скрытой координате объекта (частицы). Сопоставим каждому онтологическому состоянию {𝑥,𝑥h} элемент поля Галуа 𝐺𝐹(𝑁2), где N- простое. Это поле имеет N2 элементов. Пусть, например, N=5. Это мир, в котором наблюдатель имеет всего 5 состояний сознания. На рис.1 элементы поля Галуа 𝐺𝐹(52) представлены в виде прямоугольной таблицы логарифмов элементов поля. Рис.1. Онтологическое пространство Ω Нулевой элемент (его логарифм = ∞) расположен в левом нижнем углу таблицы, и не соответствует никакой проективной координате. Элементы поля 𝐺𝐹(𝑁2) можно представить следующими линейными комбинациями [1]: Ψ={𝑥,𝑥h} =𝑥A+𝑥h∙𝟏; ξ,η ∈ℤN (1.4) 4131551620371091423219112212211841730∞2418612⬚01234 ℤ5⊕ℤ5 𝑥 𝑥h 𝑎) 𝑏) 𝑥 𝑥h Здесь: A – генератор поля (корень N2-ой степени из 1 поля). 1- единица поля. Будучи конечным, это поле гомеоморфно плоскому евклидовому многообразию с топологией тора ℤN2. В рассматриваемом примере онтологическим пространством Ω является прямая сумма пространств субъекта и объекта: x ⊕𝑥h. Это конфигурационное пространство состояний системы наблюдатель – объект. Будем рассматривать его, как пространство однородных координат. Пропорциональные пары [𝑥:𝑥h] образуют непересекающиеся орбиты: 𝑥h=𝑅∙𝑥 𝑚𝑜𝑑 𝑁 (1.5) R – рациональные коэффициенты. Пространство орбит (1.5) образует проективное пространство: [𝑥:𝑥h]~[ 1:𝑅]. Здесь 𝑅=𝑥h𝑥; 𝑥≠0. (1.6) Обозначим: 𝜃=2𝜋𝑥h𝑁 , 𝑘=2𝜋𝑅𝑁, где 𝜃 и 𝑘 – дискретные фаза и импульс (волновое число). Получим: 𝜃=𝑘𝑥 𝑚𝑜𝑑 2𝜋 (1.7) Аффинные координаты k являются классами эквивалентности онтологических состояний. Они соответствуют импульсам (волновым числам), поскольку имеют смысл пространственной частоты. Мы видим, что периодические граничные условия, обусловленные конечной топологией онтологического пространства, порождают в проективном физическом пространстве гармоники с длинами «волн» 𝜆=1/𝑘. (расстояние между витками намотки орбиты на тор). Рис.2 𝑥 Physical coordinate 𝑥 hidden coordinate 𝑥h 𝜓𝜓∗ 𝑥 𝜓𝑘(𝑥) a) b) Учитывая изоморфизм аддитивной группы классов вычетов и мультипликативной группы корней из единицы, каждую орбиту (1.7) можно представить комплексной функцией на кольце ℤN: 𝜓𝑘(𝑥)=1∙e−i𝑘𝑥 (1.8) Множество функций (1.8) образует импульсный базис Гильбертова пространства состояний ℋ𝑁 в координатном представлении. Каждая функция 𝜓𝑘(𝑥)∈ℋ𝑁, соответствующая импульсному состоянию 𝑘=𝑘𝑛, вырождена по смежным классам (параллельным орбитам, соответствующим разным глобальным фазам), так, что степень вырождения определяет амплитуду данного импульсного состояния 𝐴𝑘=√𝑃(𝑘), где 𝑃(𝑘)- нормированная вероятность. Амплитуда вероятности примет вид: 𝜓𝑘(𝑥)=𝐴𝑘∙e−i𝑘𝑥; (1.9) Этим, в частности, обосновывается правило Борна (Подробнее об этом смотрите в [2,3]). Множества орбит с разными k «интерферируют», создавая в проективном пространстве распределение вероятностей рис. 2b): 𝑃(𝑥)=𝜓(𝑥)𝜓∗(𝑥) (1.10) Где: 𝜓(𝑥)=1√𝑁Σ𝜓𝑘(𝑥). На рис. 2a показана только одна орбита 𝜓𝑘(𝑥). Конфигурационное онтологическое пространство x ⊕𝑥h можно рассматривать, как главное расслоение над физической координатой x, где слоем является орбита группы корней из единицы ℤN (в пределе ℤN∈U(1)), представляющая скрытую циклическую координату 𝑥h. 2. Сопряженные переменные, как скрытые параметры Функции (1.8) задают импульсный базис в x- представлении. Этому пространству соответствует сопряженное пространство линейных функционалов- p- представление: 𝜓(𝑘)=⟨𝑒−𝑖𝑘𝑥| ∙ ⟩ (2.1) Рассмотрим импульсное состояние 𝜓𝑘(𝑘) в импульсном представлении. По определению, сдвиг фазы оставляет импульсное состояние внутри класса эквивалентности: 𝜓𝑘(𝑘) ~ 𝜓𝑘(𝑘)∙e−i𝜑 (2.2) Напомним, что смысл этого в неспособности внутреннего наблюдателя (субъекта) различать элементы класса эквивалентности {𝑆𝑢𝑏𝑗,~}. Известно, что оператор X циклической пермутации координатного базиса и двойственный к нему оператор 𝒁=𝑭𝑿𝑭−1, где F-матрица преобразования Фурье, совместно порождают проективное унитарное представление группы Гейзенберга – Вейля [4], действующей на ℤ𝑁×ℤ𝑁̃. Где тильда означает сопряженное пространство. В конечномерном пространстве размерности N, элементы X и Z группы Вейля–Гейзенберга определяются следующим образом: X|𝑥𝑛⟩ = |𝑥𝑛+1⟩ (трансляция) Z|𝑥𝑛⟩= ωⁿ |𝑥𝑛⟩ (сдвиг фазы, зависящий от |𝑥𝑛⟩ ) где 𝜔 = 𝑒𝑥𝑝(2𝜋𝑖 / 𝑁) — примитивный N-й корень из единицы В соответствии с этим, действие оператора сдвига фаз на 𝜓(𝑥) приводит к сдвигу в сопряженном пространстве. То есть: (𝑭 ∙ 𝐙)𝜓(𝑥)=𝜓(𝑝+Δ𝑝). (2.3) Отсюда, в частности, следует известная Fourier shifting theorem. Не трудно заметить, что оператор Z группы Гейзенберга – Вейля действует, как локальное калибровочное преобразование: 𝜓(𝑥)→𝑒−𝑖𝜃(𝑥)𝜓(𝑥). (2.4) Действие оператора (𝐅∙𝒁) на координатное состояние приводит к смещению в импульсном сопряженном пространстве 𝜓(𝑝)→𝜓(𝑝+Δ𝑝). Предположим, фаза меняется во времени, но не зависит от 𝑥, то есть: 𝜃≠𝑓(𝑥),- такое преобразование называют глобальным. Тогда, для наблюдателя в координатном и импульсном представлениях ожидаемые значения наблюдаемых не изменятся: 〈𝑥̂〉≠𝑓(𝑡), 〈𝑝̂〉≠𝑓(𝑡). Но, если фаза зависит не только от времени, но и от координаты (локальное преобразование): 𝜃=𝑓(𝑥,𝑡), то для наблюдателя в координатном представлении по-прежнему, ничего не изменится: 〈𝑥̂〉≠𝑓(𝑡), тогда, как для наблюдателя в импульсном представлении среднее наблюдаемого импульса будет меняться: 〈𝑝̂〉=𝑓(𝑡). Соответственно 𝑝̇≠0, a это означает, что возникла сила 𝐹=𝑝̇. Сила F может интерпретироваться, как действие некоего компенсирующего поля, восстанавливающего калибровочную симметрию. Это простое объяснение идеи калибровочных полей не встречается в литературе. По всей видимости, это связано с тем, что калибровочная теория развивалась из классической полевой теории и геометрии волновых уравнений, тогда, как группа Гейзенберга — из квантовой механики и теории представлений. Поэтому эти темы почти не пересекаются. Не смотря на свою простоту, эта «игрушечная» интерпретация калибровочного механизма взаимодействий имеет глубокий геометрический смысл. Следует отметить, что для наблюдателя в координатном представлении, фаза не имеет физически наблюдаемого смысла, поскольку для него различимы только классы эквивалентных фазовых состояний: 𝜓(𝑥)≅𝑒𝑖𝜑𝜓(𝑥). Из (2.3) следует, что вектор фазовых множителей ωⁿ перед 𝜓(𝑥) с точностью до глобальной калибровки, имплицитно содержит, не доступную наблюдателю в координатном базисе, информацию о сопряженной величине - смещении Δ𝑝 в импульсном базисе. Обратное так же верно. В этом смысле, фаза может рассматриваться, как скрытый параметр, кодирующий это смещение. Поскольку 𝑘, 𝑥, 𝜃 связаны соотношением (1.7), онтологическое пространство {𝑥,𝜃} для 𝑥≠0 изоморфно фазовому пространству {𝑥,𝑘}. А это означает, что фазовое пространство {𝑥,𝑘} так же полно. В этом контексте известная формулировка квантовой механики на фазовом пространстве [5] приобретает смысл полного квантового описания с точки зрения внешнего наблюдателя. Итак, сопряженные переменные в КМ являются «взаимно скрытыми» параметрами. Сопряженное представление дополняет описание в выбранном базисе до полного, онтологического, и эвристический принцип дополнительности Бора реализуется буквально. Следует так же заметить, что классы импульсных состояний нелокальны, что удовлетворяет теореме Белла о невозможности локальных скрытых параметров. 3. Дуальность и некоммутативность С математической точки зрения сопряженные переменные представляют собой пары переменных связанных через преобразование Фурье (или в общем случае, через двойственность Понтрягина (Lev Pontryagin)). Соотношения двойственности естественным образом приводят к соотношению неопределенности. Однако, что стоит за самим фактом существования в природе двойственности, обычно не обсуждается. Мы показали, что в основе этого феномена лежит субъект – объектная дихотомия. В KM векторному пространству координат |𝑥⟩ соответствует дуальное пространство импульсов |𝑘⟩. Но различие между импульсным и координатным представлениями условно, и замена одного представления (representation) другим не может отразиться на физике явления. Эта ситуация подобна двойственности Плюккера (Julius Plücker), в простейшем случае, выражающейся в симметрии аргументов 𝑥1,𝑥2 и коэффициентов 𝑝1,𝑝2 в уравнении прямой на плоскости: 𝑝1𝑥1+𝑝2𝑥2=0. Плюккер заметил, что коэффициенты 𝑝1,𝑝2 можно рассматривать, как «координаты» прямой, равноправные с координатами 𝑥1,𝑥2 точки. Замените 𝑥 на 𝑝 и у вас ничего не изменится, если вы замените слово «точка» на слово «прямая»! Точно так же, дуальные пространства изоморфны и на них действует одна и та же алгебра операторов. Поэтому, выбор представления в КМ считается вопросом удобства. Спустя полвека после основополагающих работ Е.Вигнера и Г.Вейля (E. Wigner и H. Weyl), по квантовой механике на фазовом пространстве [6], открытие геометрических аспектов квантового формализма Томом Кибблом (Kibble, T. W. B.) возродило интерес к формулировке квантовой механики на фазовом пространстве (Heslot 1985; Anandan & Aharonov 1990) [7]. Тем не менее, понимание того, что дуальные представления дополняют друг друга до полного онтологического описания (см. параграф 3), сегодня по- прежнему отсутствует. В статье [8] Andre Heslot предлагает обобщение классической механики, в котором квантовая механика возникает как частный случай. Heslot показал, что уравнение Шрёдингера для действительной и мнимой компонент волновой функции 𝜓=𝑥+𝑖𝑝 можно переписать в виде системы уравнений Гамильтона. Это позволяет трактовать эволюцию квантовой системы, как отображение однопараметрического унитарного потока Шредингера из ℋ∈ℂ𝑛+1 на некое квазиклассическое фазовое пространство Γ≅ℝ2𝑛, представляющее собой проективное симплектическое многообразие 𝑃ℋ∈ℂ𝑃𝑛, снабженное Римановой метрикой (Кэлерово многообразие). 𝑈: ℋ→𝑃ℋ (3.1) Таким образом мы возвращаемся к формальному аналогу классической механики, где так же, есть симплектическая структура и Гамильтонов поток. Но они действуют в пространстве состояний, а не в физическом пространстве частиц, как это имеет место в классической Гамильтоновой механике. Связь с физическим пространством координат - действия {x,s} рассмотрена нами в параграфе 2. На наш взгляд, смысл объединения дуальных пространств в одно симплектическое многообразие состоит в пополнении квантовой механики до полного онтологического описания. Эйнштейн в своих дискуссиях с Н. Бором о полноте квантовой механики предполагал возможность пополнения квантовой механики теорией со скрытыми параметрами. Именно к такой теории, мы неизбежно приходим, рассматривая сопряженные пространстве, как единую геометрическую структуру. Фазовое Гильбертово пространство не является ни квантовым, ни классическим. КМ возникнет из него в результате факторизации, что в нашей интерпретации формализует переход от внешнего (объективного), к внутреннему (субъективному) наблюдателю, который «живет» на проективном Гильбертовом многообразии 𝑆2𝑁−2. Наличие скалярной кривизны такой поверхности приводит, в частности, к некоммутативности квантовых наблюдаемых – важнейшей особенности квантовой механики. Здесь уместно вспомнить высказывание Дирака, что «квантовая механика — это классическая теория на некоммутативной алгебре». Покажем, как это работает. Проективное представление группы Гейзенберга – Вейля означает, что коммутатор операторов 𝒁 и 𝑿 определен с точностью до фазового сомножителя ω: 𝒁·𝑿 = 𝜔·𝑿·𝒁 (3.2) То есть обход одной ячейки фазового пространства ℤ𝑁×ℤ𝑁̃ по замкнутому контуру зависит от направления, и приводит к нетривиальной глобальной фазе ω - дискретному аналогу квантовой геометрической фазы или фазы Берри. Это отношение — дискретный аналог канонического коммутационного соотношения: [𝑥̂,𝑝̂]=𝑖ℏ𝑰. Следует заметить, что операторы X и Z действуют в одном и том же текущем базисе. Это инструментальный базис внутреннего или субъективного наблюдателя (базис его состояний сознания), для которого сопряженная наблюдаемая полностью или частично скрыта. Выше мы упоминали (см. 2.3), что сдвиг фазы в текущем представлении эквивалентен трансляции сопряженной наблюдаемой в дуальном базисе, и наоборот. А это означает, что в сопряженном базисе оператор Z действует так же, как оператор X в текущем базисе. То есть, с точки зрения объективного наблюдателя, операторы X и Z в своих собственных базисах являются просто операторами трансляции, и описывают автоморфизмы на решетке фазового (онтологического) пространства. Очевидно, они коммутативны. Квантовая «магия» возникает исключительно для субъективного наблюдателя, который «смотрит» на мир из своего текущего базиса (ибо это базис его состояний сознания!). Для него операторы Z и X действуют по-разному и поэтому составной оператор Вейля 𝑿∙𝒁 не коммутативен. Фазовый множитель 𝜔(𝑝,𝑞) здесь играет роль связности на дискретном пространстве расслоения. Аналогично, для непрерывного случая, запишем коммутационное соотношение в виде группового оператора последовательных трансляций вдоль замкнутого контура: [𝑞̂,𝑝̂]=𝑞̂𝑝̂−𝑝̂𝑞̂= 𝑇̂𝑞𝑇̂𝑝𝑇̂−𝑝𝑇̂−𝑞=𝑒−𝑖ℏ𝑝𝑞, (3.3) Операторы трансляции: 𝑇̂𝑝=𝑒−𝑖ℏ𝑝𝑞̂ и 𝑇̂𝑞=𝑒−𝑖ℏ𝑞𝑝̂ непрерывные аналоги дискретных операторов Z и X —соответственно. Здесь так же движение по замкнутому контуру на 𝑃(ℋ), приводит к подъему пути в пространстве расслоения, так что при возвращении в исходную точку возникает угловой избыток – фаза Берри. Крутизна подъема определяется кривизной области, охватываемой этим контуром [9]. Согласно теореме Стокса, циркуляция связности равна потоку симплектической формы через поверхность S, ограниченную контуром 𝐿∈𝑃(ℋ): 𝛽=∮𝐴=∫𝐹𝑆𝐿 (3.4) Это устанавливает связь между 1-формой связности A и симплектической 2-формой F (кривизной) на базе расслоения 𝑃(ℋ). В классической механике, являющейся описанием объективного наблюдателя, фазовое пространство плоское, и квантовые эффекты вырождаются в Гамильтонову механику, 4. Энтропия Хиршмана – Эверетта, как мера субъективной неполноты Некоммутаивность наблюдаемых обосновывает принцип неопределенности Гейзенберга. В 1929 г Роберсон (Robertson, H.P.) [10] доказал соотношение, связывающее неопределенность с некоммутативностью наблюдаемых: Δ𝐴∙Δ𝐵≥12|〈[𝐴𝐵]〉| (4.1) Здессь Δ𝐴 – оператор стандартного отклонения величины A. [∙,∙] - коммутатор. Это соотношение следует непосредственно из формализма КМ. Но, как мы отмечали выше, некоммутативность является следствием более глубокой причины, связанной с неполнотой. В 50-х годах прошлого столетия Эверетт (Hugh Everett III) и Хиршман (Hirschman, Isidore Isaac) получили соотношение [11]: 𝐼𝑥+𝐼𝑝≥𝑙𝑜𝑔2(𝑒𝜋) (4.2), Где: −𝐼𝑥=−∫|ψ𝑥|2log |ψ𝑥|2 (4.3) и аналогично для 𝐼𝑝. В 1975г. оно было строго доказано Бекнером [12]. Соотношение неопределенностей Хиршмана – Эверетта (4.2) не только уточняет соотношение Робертсона (4.1), но и проливает свет на его природу связанную, как мы понимаем, с субъективной неполнотой. Мы называем величину (4.3) скрытой энтропией Hhide, поскольку онтологическая структура вектора состояния ψ𝑥, вследствие неполноты не доступна внутреннему наблюдателю. Численно, она определяется информацией, получаемой при измерении. Итак, если Энтропия фон-Неймана HSubj=−tr(ρr ln ρr) определяется числом квантовых состояний, осуществляющих данное смешанное состояние, то энтропия Хиршмана – Эверетта Hhide определяется числом онтологических состояний, осуществляющих данное квантовое состояние. В отличие от энтропии фон-Неймана, она отлична от нуля для чистого состояния, и ее нижняя граница всегда больше нуля. Минимум достигается для Гауссианов со стандартными отклонениями σₓ и σₚ, удовлетворяющими соотношению неопределенностей: σₓ · σₚ = ħ / 2. Соотношение (4.2) представляет собой сумму объективных энтропий субъекта (наблюдателя) и объекта. Объективная энтропия мира, как целого, 𝐻𝑊=𝐻𝑥 + 𝐻𝑝 будет складываться из энтропий Хиршмана-Эверетта для сопряженных наблюдаемых, поскольку по отношению друг к другу они играют роль энтропии субъекта и объекта. В конечной дискретной модели аналогом может служить неравенство Маассена–Уффинка (Maassen–Uffink, 1988) [13]. Оно утверждает: 𝐻𝑥 + 𝐻𝑝 ≥ −2·𝑙𝑜𝑔(𝑐), (4.4) где c = max ⟨uᵢvⱼ⟩ — максимальный модуль скалярного произведения между элементами двух ортонормированных базисов. Если эти базисы взаимно несмещённые (mutually unbiased bases, MUBs), (например, их взаимная структура определяется дискретным преобразованием Фурье), то с=𝑁−12, где N – размерность базиса (в нашей интерпретации, это число состояний сознания), и тогда нижняя граница становится строго равной log(N). 𝐻𝑥 + 𝐻𝑝 ≥ 𝑙𝑜𝑔(𝑁) (4.5) Понятие энтропии мира H𝑊𝑜𝑟𝑙𝑑 в контексте субъект – объектной модели не релевантно, поскольку энтропия по своей сути – субъективное понятие, отражающее меру субъективной неполноты, или дефицита информации доступной субъекту. Однако, сумму H𝑊𝑜𝑟𝑙𝑑=𝐻𝑆𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 + 𝐻ℎ𝑖𝑑𝑒 можно интерпретировать, как полную информацию мира. Предельным случаем является нулевая энтропия субъекта и максимальная энтропия объекта равная 𝑙𝑜𝑔(𝑁). Эта ситуация отражает максимальный градиент энтропии и возникновение энтропийных сил, стремящихся увеличить энтропию субъекта. Далее будем записывать энтропии в общем виде, не забывая, что они относятся к распределениям в сопряженных базисах. 𝐻𝑆𝑢𝑏𝑗 + 𝐻ℎ𝑖𝑑𝑒 = 𝐻𝑊 (4.6) Гамильтонов поток сохраняет объем в онтологическом фазовом пространстве, что в контексте дискретного онтологического пространства, определяет сохранение полной мировой информации. Вопрос о природе 2-го начала термодинамики ḢSubj≥0 и о термодинамической стреле времени открыт до сих пор. Еще 50-х годах Ландау (Lev Davidovich Landau) указывал на процесс квантового измерения как на возможный источник роста энтропии [14]. С тех пор было опубликовано множество работ, посвященных этой проблеме. В ряду этих работ новая статья физиков из Венского университета [15]. Однако, по-прежнему отсутствует понимание субъективного характера энтропии. Из (5.6) следует, что субъективная (она же термодинамическая) энтропия растет только за счет притока энтропии из скрытых онтологических степеней свободы в эмерджентный слой физической реальности 𝐻ℎ𝑖𝑑𝑒→𝐻𝑆𝑢𝑏𝑗. Движущей силой (причиной) этого потока является «движение» сознания наблюдателя по градиенту плотности онтологических состояний. Это «движение» следует понимать в контексте индексической неопределенности (indexical uncertainty). Например, это означает, что вероятность осознать себя в более сложном мире, с большим числом возможностей, больше, чем в мире с меньшим числом. Это и означает «движение» наблюдателя в направлении роста энтропии, что мы интерпретируем, как течение времени. Выводы 1. Рассмотрена гипотеза, что дуальная структура наблюдаемых квантовой механики, индуцирована субъект – объектной структурой реальности. Мы показали, что структура расширенного поля Галуа 𝐺𝐹(𝑁2) адекватно описывает эту структуру, играющую фундаментальную роль в квантовой механике. 2. Показано, что скрытыми параметрами в представлении оператора наблюдаемой являются собственные значения его канонического сопряжения. Например, в импульсном представлении скрытыми параметрами являются координаты. 3. Показано, что сопряженные наблюдаемые дополняют друг друга до полного онтологического описания, проясняя и формализуя смысл принципа дополнительности Бора. 4. Прояснена роль энтропийного соотношения неопределенностей Хиршмана- Эверетта в механизме роста субъективной энтропии. В основе наших выводов и гипотез лежит представление о субъект – объектной структуре мира, где субъект (наблюдатель) является частью мира, который он же и наблюдает. Эта онтологическая ситуация подобна неполноте замкнутых аксиоматических систем, исследуемых математической логикой. Теорема Геделя утверждает существование в таких системах содержательно истинных утверждений, которые недоказуемы в рамках самой системы. Идея перенесения концепции неполноты на физику не нова. Здесь уместно вспомнить формальный аргумент Девида Вулперта (David Hilton Wolpert), утверждающий, что для любого интеллекта в принципе невозможно знать все о вселенной, частью которой он является [16]. Однако, субъективная физическая неполнота не только порождает когнитивные ограничения, подобные Геделевской, но и индуцирует саму физическую реальность. В статье мы показали, что ключевые математические конструкты, лежащие в основе формализма квантовой механики, могут быть обоснованы в рамках концепции субъективной неполноты. Литература 1. V. I. Arnold, Dynamics, Statistics and Projective Geometry of Galois Fields,. Cambridge University Press 2011 2. A. Kaminsky. “Quantum and Relativistic Physics as Theories of an Internal Observer”., https://zenodo.org/records/10655159. 3. A. Kaminsky. “Subjective foundations of quantum mechanics”, https://zenodo.org/records/15098840 4. H. Weyl., The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover Publications, (1931) 5. Groenewold, H. J. (1946). "On the principles of elementary quantum mechanics". Physica. 12 (7): 405–460. 6. E. Wigner, Phys. Rev. 40, 749 (1932). 7. J. Anandan. "A Geometric Approach to Quantum Mechanics" Foundations of Physics, Vol. 21, No. ll, 1991 8. А. Heslot. Quantum mechanics as a classical theory. PHYSICAL REVIEW., VOLUME 31, NUMBER 6., 15 MARCH 1985 9. Arno Bohm, Luis J Boya, Brian Kendrick., Derivation of the geometrical phase., Physical Review A, Volume 43, Number 3, 1991 10. Robertson, H.P. (1929) The Uncertainty Principle. Physical Review, 34, 163-164 11. I.I. Hirschman, Jr., A note on entropy. American Journal of Mathematics (1957) pp. 152–156 12. W. Beckner, Inequalities in Fourier analysis. Annals of Mathematics, Vol. 102, No. 6 (1975) pp. 159–182 13. Maassen, H., & Uffink, J. B. M. (1988). Generalized entropic uncertainty relations. Physical Review Letters, 60(12), 1103–1106. 14. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — («Теоретическая физика», том V) 15. Florian Meier, Tom Rivlin, At all. Lock. Emergence of a Second Law of Thermodynamics in Isolated Quantum Systems. PRX Quantum, 2025; 6 (1) DOI: 10.1103/PRXQuantum.6.010309 16. David H. Wolpert (2008). "Physical limits of inference". Physica D. 237 (9): 1257–1281. arXiv:0708.1362. doi:10.1016/j.physd.2008.03.040. (31.08.2025)
