Моделирование распада пространства на <<атомы пространства>>

Математические структуры и моделирование 2020. № 3(55). С. 4–11 УДК 530.145 DOI 10.24147/2222-8772.2020.3.4-11 МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПАДА ПРОСТРАНСТВА НА «АТОМЫ ПРОСТРАНСТВА» А.К. Гуц д.ф.-м.н., профессор, e-mail: guts@omsu.ru Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия Аннотация. В статье показано, каким образом можно математически описать процесс распада пространства на бесконечное число несвязных кусков, которое может произойти при полной потере сцепленности (запутанности) частей бесконечно удалённой границы в рамках 𝐴𝑑𝑆/𝐶𝐹 𝑇-соответствия. Ключевые слова: пространство, возникающее пространство, 𝐴𝑑𝑆/𝐶𝐹 𝑇- соответствие, пространство и запутанность подсистем. В последние годы стало популярным воззрение, что пространство — это возникающая сущность из некоторого фундаментального объекта (см. обзор [1]). Структура пространства, например топология или метрика, в математике вводится на некоторой подложке, каковой в общей теории относительности (ОТО) является канторовское множество. Элементы этого множества, представляемые в форме «точки», трактуются как события, которые произошли в каком-то месте и в какое-то время. Но возможны и другие, более абстрактные, подложки. В матричных моделях физическое пространство-время эффективно возникает из набора матриц, а не задаётся в качестве априорного многообразия. Это эффективное описание пространства-времени часто называется некоторыми авторами возникающим пространством-временем. Таким образом, отметим, что и под возникновением пространства понимается нечто более изощренно-утонч ¨ енное ¨ : Я почти уверен, что пространство и время являются иллюзиями. Эти примитивные понятия будут замещены чем-то более утонченным ¨ (Nathan Seiberg). Процитированный Зейберг считает, что пространство и время не должны присутствовать в исходной формулировке фундаментальной физической теории, а появляются только как макроскопическое приближение [2]. Более определённо высказывается Роберт Дейкгрофф [3]: Пространство и время не являются основой наших рассуждений. Напротив, пространство и время сами появляются в результате этих рассуждений. За этими рассуждениями скрывается нечто более фундаментальное. Математические структуры и моделирование. 2020. № 3(55) 5 В высказываниях Зейберга и Дейкгроффа видится желание не только отказать в фундаментальности структуре пространства, но и отказаться от фундаментальности подложки, на которой реализуются структура пространства. Подложка должна возникнуть (to emerge) из чего-то иного. Следует поэтому обратить внимание на работу [4], авторы которой заявляют, что пространство-время — это явление, возникшее в предшествующей особой субквантовой среде, и что сцепленность (запутанность) и туннельный эффект могут быть объяснены в терминах нелинейной связи между пространством и временем, обязанной субквантовым волнам. В философии Гегеля Мир возникает по логике (а не во времени) из Ничего, которое есть чистое Бытие, и это чистое Бытие и есть подложка пространства, а значит и пространства-времени, которая в конкретном Бытии может быть и «Иным» [5, c. 139–140]. Другими словами, в рассуждениях о нефундаментальности пространства и времени скрывается поиск адекватного математического описания акта, который мы называем рождением Мира. Все существующие подходы неудовлетворительны в силу того, что они отрывают материю от духа (сознания). Неудовлетворенность современными физическими теориями выросла до неудовлетворенности самим постулатом о фундаментальности пространства и времени. Цель данной статьи состоит в том, чтобы дать математическую модель возникающей подложки пространства, а значит и возникающей подложки пространства-времени, на которых легко обнаруживаются топология и геометрия, отождествляемые нами с реальным пространством и пространствомвременем. Причём факты возникновения (и исчезновения) пространства мы ассоциируем с аналогичными фактами возникновения и исчезновения пространства, обязанными сцепленности частей удаленной границы балка в рамках 𝐴𝑑𝑆/𝐶𝐹 𝑇-соответствия. Мы покажем каким образом можно математически смоделировать распад пространства на бесконечное число несвязных друг с другом кусочков, т. е. на «атомы пространства». В какой-то мере этот процесс отвечает полной потере сцепленности (запутанности) частей бесконечно удалённой конформной границы пространства (балка) в теории голографической вселенной [6]. 1. «Исчезновение» прямой Для начала разорвем прямую ¨ R на счетное число отрезков. На отрезке [0,1] определим параметрическое семейство функций 𝑓𝑡(𝑥), 𝑡 ∈ [0, 1], такое, что для любого 𝑥 ∈ [1/2, 3/2] 𝑓0(𝑥) = 1, 𝑓1(𝑥) = 2|𝑥 − 1|, а при 𝑡 ∈ (0, 1) семейство функций 𝑓𝑡 представляет непрерывную деформацию функции 𝑓0 в функцию 𝑓1, причём все 𝑓𝑡(𝑥) (𝑡 < 1) непрерывны вместе с первыми производными. Единственной функцией, производная которой имеет разрыв первого рода в точке 𝑥 = 1, является 𝑓1(𝑥) (см. рис. 1). Более того, для 6 А.К. Гуц. Моделирование распада пространства... Рис. 1.Семейство 𝑓𝑡(𝑥). любого 𝑡 𝑓𝑡(0) = 𝑓𝑡(1) = 1. Построенные функции 𝑓𝑡 продолжим на всю прямую R (см. рис.1). Две точки 𝑎, 𝑏 ∈ R назовём 𝑡-эквивалентными тогда и только тогда, когда 𝑎 = 𝑏 = 𝑘/2, 𝑘 — целое число. Если этот случай не имеет места, то 𝑎, 𝑏 ∈ R назовём 𝑡-эквивалентны, если 1) 𝑎 = 𝑏; 2) 𝑓𝑡(𝑎) = 𝑓𝑡(𝑏); 3) lim 𝑥→𝑎−0 𝑓 ′ 𝑡 (𝑥) = lim 𝑥→𝑏+0 𝑓 ′ 𝑡 (𝑥). Профакторизуем пространство R по введённому отношению эквивалентности ∼𝑡 . Получаем фактор-пространство Γ𝑡 = R/∼𝑡 . Нетрудно увидеть, что это фактор-пространство Γ𝑡 при 𝑡 < 1 гомеоморфно отрезку R, а при 𝑡 = 1 — несвязному пространству ... ∪ [−2, −1] ∪ [0, 1] ∪ [2, 3] ∪ [4, 5] ∪ ... Другими словами, прямая распалась на счетное объединение непересекающихся отрезков, т. е. на «атомы пространства». Удобно последнее несвязное пространство обозначить как Γ1 = ⋃︁ 𝑘∈𝑍 [𝑘+,(𝑘 + 1)−]. Итак, мы определили семейство топологических пространств {⟨Γ𝑡 , 𝒯𝑡⟩}, где 𝒯𝑡 — рассмотренная фактор-топология на Γ𝑡 . При этом если 𝑡 ̸= 1, то Γ𝑡 ≈ [0, 1], а Γ1 = [0,(1/2)−] ∪ [(1/2)+, 1], и справедливы соотношения [0,(1/2)−] ≈ [0, 1] и [(1/2)+, 1] ≈ [0, 1]. Таким образом, мы рассмотрели разрыв отрезка на два с топологической точки зрения. 2. «Исчезновение» плоскости Для описания изменения топологии плоскости R 2 , ведущей к потере связности и распада плоскости на квадраты с целочисленными координатами вершин Математические структуры и моделирование. 2020. № 3(55) 7 (𝑘, 𝑚), 𝑘, 𝑚 ∈ 𝑍 квадратов, по аналогии с предыдущим параграфом вводим семейство функций 𝑧 = 𝑓𝑡(𝑥, 𝑦), причём при 𝑡 < 1 𝑓𝑡(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶 ∞, 𝑓0(𝑥, 𝑦) ≡ 1, 0 < 𝑓𝑡(𝑥, 𝑦) 6 1, 𝑓𝑡(𝑘/2, 𝑚/2) = 1, 𝑓𝑡(𝑥, 𝑦) > 𝑓𝑡 ′(𝑥, 𝑦) (𝑡 < 𝑡′ ), 𝑓1(𝑥, 𝑦) < 𝑓𝑡(𝑥, 𝑦) lim 𝑡→1−0 𝑓𝑡(𝑥, 𝑦) = 𝑓1(𝑥, 𝑦), и функция 𝑓1(𝑥, 𝑦) показана на рис.2. Рис. 2.Функция 𝑓1(𝑥, 𝑦). Мы видим, что функция 𝑓1(𝑥, 𝑦) теряет гладкость на прямых 𝑥 = 𝑘 и 𝑦 = 𝑚, по которым будем разрывать плоскость. Точки (𝑎, 𝑏) и (𝑐, 𝑑) считаем эквивалентными, если 𝑎 = 𝑐 = 𝑘/2 и 𝑏 = 𝑑 = 𝑚/2. Если этот случай не имеет места, то (𝑎, 𝑏),(𝑐, 𝑑) ∈ R 2 назовём 𝑡- эквивалентными, если 1) 𝑎 = 𝑏, 𝑐 = 𝑑; 2) 𝑓𝑡(𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑡(𝑐, 𝑑); 3) lim 𝑥→𝑎−0 𝑦→𝑏−0 ∂𝑓𝑡 ∂𝑥 (𝑥, 𝑦) = lim 𝑥→𝑐+0 𝑦→𝑑+0 ∂𝑓𝑡 ∂𝑥 (𝑥, 𝑦), lim 𝑥→𝑎−0 𝑦→𝑏−0 ∂𝑓𝑡 ∂𝑦 (𝑥, 𝑦) = lim 𝑥→𝑐+0 𝑦→𝑑+0 ∂𝑓𝑡 ∂𝑦 (𝑥, 𝑦). Профакторизуем пространство R 2 по введенному отношению эквивалентности ∼𝑡 . Получаем фактор-пространство Γ𝑡 = R/∼𝑡 . 8 А.К. Гуц. Моделирование распада пространства... Нетрудно увидеть, что это фактор-пространство Γ𝑡 при 𝑡 < 1 гомеоморфно плоскости R 2 , а при 𝑡 = 1 — несвязному пространству, состоящему из счётного числа компонент связности 𝑆𝛼, каждая из которых гомеоморфна квадрату [0, 1] × [0, 1]. Другими словами, плоскость распалась на счётное объединение непересекающихся квадратов, т. е. на «атомы пространства» 𝑆𝛼 = [𝑘+,(𝑘 + 1)−], 𝑘 ∈ 𝑍: R 2 → Γ1 = ⋃︁ 𝛼∈𝑍 𝑆𝛼. 3. «Исчезновение» сферы 𝑆 2 Нетрудно понять, что подобным же образом можно устроить распад сферы 𝑆 2 вдоль меридианов и параллелей. 4. «Исчезновение» пространства Для описания изменения топологии плоскости R 3 , ведущей к потере связности и распаду плоскости на квадраты с целочисленными координатами вершин (𝑘, 𝑚, 𝑛), 𝑘, 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑍 кубов, по аналогии с предыдущим параграфом вводим семейство функций 𝑢 = 𝑓𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑧), причём при 𝑡 < 1 𝑓𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐶 ∞, 𝑓0(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≡ 1, 0 < 𝑓𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑧) 6 1, 𝑓𝑡(𝑘/3, 𝑚/2, 𝑛/2) = 1, 𝑓𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑧) > 𝑓𝑡 ′(𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑡 < 𝑡′ ), 𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧) < 𝑓𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑧) lim 𝑡→1−0 𝑓𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧) и функция 𝑢 = 𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧) строится по аналогии с предыдущими функциями 𝑓1(𝑥) 𝑓1(𝑥, 𝑦). Но показать её затруднительно, поскольку её график выходит в 4-е измерение 𝑢. Функция 𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧) теряет гладкость на плоскостях 𝑥 = 𝑘, 𝑦 = 𝑚 и 𝑧 = 𝑛, по которым будем разрывать пространство на кубы. Точки (𝑎, 𝑏, 𝑣) и (𝑐, 𝑑, 𝑤) считаем эквивалентными, если 𝑎 = 𝑐 = 𝑘/2 и 𝑏 = 𝑑 = 𝑚/2 и 𝑣 = 𝑤 = 𝑛/2. Если этот случай не имеет места, то (𝑎, 𝑏, 𝑣),(𝑐, 𝑑, 𝑤) ∈ R 2 назовем 𝑡- эквивалентными, если 1) 𝑎 = 𝑏, 𝑐 = 𝑑, 𝑣 = 𝑤; 2) 𝑓𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑣) = 𝑓𝑡(𝑐, 𝑑, 𝑤); 3) lim 𝑥→𝑎−0 𝑦→𝑏−0 𝑧→𝑣−0 ∂𝑓𝑡 ∂𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim 𝑥→𝑐+0 𝑦→𝑑+0 𝑧→𝑤+0 ∂𝑓𝑡 ∂𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧), Математические структуры и моделирование. 2020. № 3(55) 9 lim 𝑥→𝑎−0 𝑦→𝑏−0 𝑧→𝑤−0 ∂𝑓𝑡 ∂𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim 𝑥→𝑐+0 𝑦→𝑑+0 𝑧→𝑤+0 ∂𝑓𝑡 ∂𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧), lim 𝑥→𝑎−0 𝑦→𝑏−0 𝑧→𝑣−0 ∂𝑓𝑡 ∂𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = lim 𝑥→𝑐+0 𝑦→𝑑 𝑧→𝑤+0 ∂𝑓𝑡 ∂𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧). Профакторизуем пространство R 3 по введённому отношению эквивалентности ∼𝑡 . Получаем фактор-пространство Γ𝑡 = R/∼𝑡 . Нетрудно увидеть, что это фактор-пространство Γ𝑡 при 𝑡 < 1 гомеоморфно пространству R 3 , а при 𝑡 = 1 — несвязному пространству, состоящему из счётного числа компонент связности 𝑄𝛼, каждая из которых гомеоморфна кубу [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]. Другими словами, плоскость распалась на счётное объединение непересекающихся кубов, т. е. на «атомы пространства» 𝑄𝛼: R 3 → Γ1 = ⋃︁ 𝛼∈𝑍 𝑄𝛼. Непрерывно деформируя плоскости 𝑥 = 𝑘, 𝑦 = 𝑚 и 𝑧 = 𝑛, мы можем привести ситуацию к разрыву пространства на деформированные кубы разной формы и размера. Эти деформированные кубы и есть «атомы пространства», образующие подложку пространства в том случае, когда на бесконечно удалённой 2-мерной границе пространства полностью отсутствует какая-либо сцепленность (запутанность) её частей, и на которой в соответствии с голографическим принципом кодируются не только топологические метаморфозы потери связности, но и сопутствующие им геометрические процессы бесконечного удаления друг от друга компонент связности в распадающемся пространстве в ходе изменения метрики пространства: 𝑔𝛼𝛽(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 [𝑓0(𝑥, 𝑦, 𝑧)]2 𝑔𝛼𝛽(𝑥, 𝑦, 𝑧) → 1 [𝑓𝑡 ′(𝑥, 𝑦, 𝑧)]2 𝑔𝛼𝛽(𝑥, 𝑦, 𝑧) → → 1 [𝑓𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑧)]2 𝑔𝛼𝛽(𝑥, 𝑦, 𝑧) → 1 [𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧)]2 𝑔𝛼𝛽(𝑥, 𝑦, 𝑧), 0 6 𝑡 ′ < 𝑡 < 1, где 𝑔𝛼𝛽 — исходная метрика пространства. Поскольку 𝑓1(𝑘, 𝑚, 𝑛)]2 = 0, то расстояние между кубами стремится к +∞ при 𝑡 → 1, как и должно быть при ослаблении сцепленности. Множество Γ1 — это нечто более фундаментальное, чем пространство. Действительно, ведь можно склеить кубы в точки, и тогда пространство распадается на элементарные геометрические объекты — точки, т. е. имеем переход Γ1 → Γ ∘ 1 . Фактически мы имеем дело с Ничем, или с чистым Бытием Гегеля. Это чистое Бытие, моделируемое нами как Γ1 или Γ ∘ 1 , и есть подложка пространства, которая в конкретном Бытии может быть и «Иным». 10 А.К. Гуц. Моделирование распада пространства... 5. «Исчезновение» сферы 𝑆 3 Также как и в случае двумерной сферы, используя модель распада пространства R 3 , можно подобным же образом устроить распад сферы 𝑆 3 . 6. Возникновение пространства Обратный процесс Γ ∘ 1 → Γ1 → Γ𝑡 → Γ𝑡 ′, 0 6 𝑡 ′ < 𝑡 < 1, (1) на топологическом уровне означает склеивание кубов в единое пространство в результате процесса запутывания областей на границе, т. е. из атомов пространства возникает полное пространство – подложка под структуру, т. е. под оснащение топологией и геометрией. На геометрическом уровне имеем деформацию 3-метрики: 1 [𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧)]2 𝑔𝛼𝛽(𝑥, 𝑦, 𝑧) → 1 [𝑓𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑧)]2 𝑔𝛼𝛽(𝑥, 𝑦, 𝑧) → 1 [𝑓𝑡 ′(𝑥, 𝑦, 𝑧)]2 𝑔𝛼𝛽(𝑥, 𝑦, 𝑧) → → 1 [𝑓0(𝑥, 𝑦, 𝑧)]2 𝑔𝛼𝛽(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑔𝛼𝛽(𝑥, 𝑦, 𝑧), 0 6 𝑡 ′ < 𝑡 < 1, где 𝑔𝛼𝛽 — исходная метрика пространства. Следовательно, бесконечное расстояние между кубами=«атомами пространства» при 𝑡 → 0 становится конечным, как и должно быть при усилении сцепленности. Возникновение пространства из «Ничего» — это одновременно и возникновение пространства-времени с метрикой 𝑑𝑠2 = 𝑐 2 𝑑𝑡2 − 1 [𝑓𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑧)]2 𝑔𝛼𝛽(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝛼 𝑑𝑥𝛽 . Здесь параметр 𝑡 — это фактор осознания Мира людьми, т. е. это время, возникающее при гегелевском логическом переходе (1) из чистого бытия Мира к его конкретному бытию; из «Ничего» к «Нечто» [5]. ЛИТЕРАТУРА 1. Гуц А.К. Теории пространства-времени // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. 2019. № 4. С. 23–47. 2. Seiberg N. Emergent Spacetime. URL: http://rXiv:hep-th/0601234v1 (дата обращения: 01.10.2020). 3. Дейкгрофф Р. Конец пространства и времени. URL: https://www.youtube. com/watch?v=-B0PIWml9uw (дата обращения: 01.10.2020). 4. Castro P., Gatta M., Croca J.R., Moreira R. Spacetime as an Emergent Phenomenon: A Possible Way to Explain Entanglement and the Tunnel Effect // Journal of Applied Mathematics and Physics. 2018. V. 6. P. 2107–2118. URL: http://www.scirp. org/journal/jamp (дата обращения: 01.10.2020). Математические структуры и моделирование. 2020. № 3(55) 11 5. Гегель Г.В.Ф. Наука логики: в 3 т. Т. 2. М. : Мысль, 1972. 6. Van Raamsdonk M. Building up spacetime with quantum entanglement. URL: https: //arxiv.org/pdf/1005.3035v1.pdf (дата обращения: 01.10.2020). MODELING OF THE SPACE DECAY INTO ”ATOMS OF SPACE” A.K. Guts Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: guts@omsu.ru Dostoevsky Omsk State University Abstract. The article shows how you can mathematically describe the process of decay of space into an infinite number of disconnected pieces that can occur with a complete loss of entanglement parts of the infinitely distant boundary within the 𝐴𝑑𝑆/𝐶𝐹 𝑇-duality. Keywords: space, emergent space, 𝐴𝑑𝑆/𝐶𝐹 𝑇-duality, space and entanglement of subsystems. REFERENCES 1. Guts A.K. Teorii prostranstva-vremeni. Prostranstvo, vremya i fundamental’nye vzaimodeistviya, 2019, no. 4, pp. 23-47. (in Russian) 2. Seiberg N. Emergent Spacetime. URL: http://rXiv:hep-th/0601234v1. 3. Deikgroff R. Konets prostranstva i vremeni. URL: https://www.youtube.com/ watch?v=-B0PIWml9uw. (in Russian) 4. Castro P., Gatta M., Croca J.R., and Moreira R. Spacetime as an Emergent Phenomenon: A Possible Way to Explain Entanglement and the Tunnel Effect. Journal of Applied Mathematics and Physics, 2018, vol. 6, pp. 2107–2118. URL: http://www.scirp.org/journal/jamp. 5. Gegel’ G.V.F. Nauka logiki: v 3 t. Vol. 2, Moscow, Mysl’ Publ., 1972. (in Russian) 6. Van Raamsdonk M. Building up spacetime with quantum entanglement. URL: https: //arxiv.org/pdf/1005.3035v1.pdf. Дата поступления в редакцию: 11.10.2020